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数学几何定理在第三天的应用

教师经常需要面对不同的学生进行教学。如何根据不同情况采取相应措施是非常必要的。有些学生在第三年仍然难以编写几何证据,并且没有明确的思考目的。针对这些情况,本文充分重视“定理教学”,采用首先关注重新整合的方法,提出定理的基本发现和推导。通过建立表征,组合定理和关联定理等教学方法,使学生能够运用“使用定理”的意识。

教师在旅途中教学并不容易,特别是在农村中学。有时由于教学的需要,通常在第三天,学生将面临陌生人的情况。作者今年遇到了尴尬几何证明的学生证书,但写不完整;知道步骤的原因和结论,但不能说明定理的内容;更多的学生面对证明中的几何问题。面对紧张的时间和繁重的任务,我该怎么办?经过一番努力和冥想,考虑到学生基础薄弱,基础薄弱,决定密切关注“定理教学”。通过一段时间的回顾,学生普遍反映他们在测试题和写作中“依赖”,并且发现了定理的价值,基本上建立了“使用定理”的意识。

那么,学生在证词中思考的原因是什么,以及解决问题的困惑是什么?我们总结如下

(1)不理解定理是推理的基础。事实上,如果我们分解一个完整的几何证明过程,我们发现它的主干由一个定理组成。学生写作的不完整性和不足是由于对定理缺乏理解而不能用符号语言表达,因此不能进行严格的推理,几何定理也不能专门用于练习。

(2)无法找到应用该定理所需的条件,或者在几何图中找不到与该定理对应的基本图。它表现在图与定理之间的陌生关系中,理论与图在思考时是分开的。如果不理解图的定理或变量,图表会略微改变(或者不是标准形状),并且学生很难思考。

数学几何定理在第三天的应用

(3)推理过程中的因果关系是模糊的。

基于以上原因,我们在教学中采取了一些自救措施。

一,教学环节

对于几何定理的教学,我们在讲座中分为五个部分。第一和第二链接是理解该定理的基本要求;第三个环节是基本推理模式,第四个环节是推理过程中定理的表示,提出了“模式+定理”的写法;第五个环节是定理。问题分析的指导作用是提出一种“图形+定理”的思维方法。程序图的设计如下

基本求职→重建代表→推理模式→组合定理→联想定理

二,操作分析和描述

1.定理的基本要求

我们认为正确编写证明过程的前提是学会编写几何定理,因为几何定理的符号语言是证明过程的基本单位。因此,在教学中,我们采取“一招两招三步”的步骤,使学生尽快熟悉每个定理的基本要求,重新安排初中阶段的定理。 (见附页,这只列出了与本文相关的相关文章。定理),重点关注学生。例如,定理43是直角三角形被斜边上的高线划分,两个直角三角形与原始三角形相似。

一举就是找到定理的标题和结论。标题用直线设置,结论使用波浪线来找出中风时定理的基本部分。

如“直角三角形”和“高线”,“相似”。

第二幅画是基于定理的内容,并可以绘制相应的基本图形。

第三篇文章基于标题和结论之间的区别,可以用符号语言表达,允许使用等效条件。

例如,∵Δabc是rtΔ,cd⊥ab是d(条件也可以写成∠acb=90°,∠cdb=90°等)∴Δacd∽△bcd∽△abc。

学生写作时确实遇到了一些问题。

1不理解每个定理的条件和结论。学生在写作时经常会错过这些条件(例如定理19缺失垂直,定理46缺失高,中间线等);条件太简单了(如定理3);或作为结论的条件(如定理12第三行是结论)。

图2还显示了思维的偏差。我们的任务将使用该定理,一些学生将重新证明该定理(如定理5,6);或者在一个定理中,∵××,∵××,∴××误差。

3更是没有把握本质。具体而言,非必要条件被用作成本质量条件(例如,定理7出现∵∠1和∠2是相同的角度,∴ab∥cd);条件重复(如定理49,结论∠apo=∠bpo已经包括圆圈的中心o学生也在条件中解释);图形太特殊(如定理1的定理基本图);太多的单词(一些定理不能被翻译成符号语言,用文字代替)。

2.重新建立外观

从具体到抽象,从感性到理性已成为教授数学教师传授知识的原则。 “表示”是人们过去所感知的客观世界中物体或物体的可再现图像。它具有一定的生动性,特异性,通用性和抽象性。由于几何定理中的每个定理都对应于一个图形,这为我们提供了一些教学方便。我们要求学生不仅要在实体的形象中表达定理,而且要让学生有意识地记住图形并思考图形以形成并唤起外观。我们相信这在理解,巩固和记忆几何定理中起着重要作用。

在教学生思考图像的基本方法之后,我们下一步就是用例子来指导学生。以下是课堂教学的主要修订内容。

(1)听完老师的介绍后,你怎么回忆起垂直定理的形象?

回答路径定理当我在思考时,我在脑海中留下了“两个相等的弧线,两个相等的线段和一个直角”,然后看到其中一个弧线或另外两个条件之一,大脑垂直定理会出现。目的建立单一定理的外观,并考虑非标准图形。

继续要求看到弧度相等,你只想到垂直定理,其他定理没有想到它?

我认为中心角是相等的,圆周角是相等的,弦是相等的......

有些学生甚至想到两个平行的琴弦......

目的是通过表示形式进行关联,以便学生能够理解定理之间的联系。

(2)从定理21的开头,你能找到与之相关的定理吗?

答案有定理22(短线使平行线成线段),定理25(专门用于钻石),定理27 ...

图的泛化或专业化或翻译,旋转和其他变化加深了定理之间的联系。

(3)以下步骤,我们让学生自己思考。在连续试验过程中,学生通过比较,分析和判断,进一步熟悉定理的三种语言,定理之间的联系和区别。从学生的思维角度来看,他们正在寻找基本的图形。由于定理之间存在某种关系,通常会有另一个基本图形在基本图形中不完整。因此,学生大多是连接,扩展和循环。 ,翻译,旋转等手段,也通过专业化,找到相同的结论和其他方式来链接不同的定理。

以下是学生自我思考后获得的创造性结论。

1定理16(将中心线延伸成矩形)→定理24(制作矩形的外接圆)→定理34。

2定理51(圆心中的一条线,两条线垂直)→定理36(一条线转换为切线)→定理47,48(绕切点旋转)→定理50。

如下图3所示,ef向下平移(或围绕a点旋转),因此定理37和50是相关的(相同的结论∠α=∠d)

3.推理模式

从学生各方面的反馈来看,大多数学生认为几何抽象也存在于各种几何推理中,过程复杂且不确定,在听课时常常懂得写,而在写作时却错过了一些步骤。如何让学生看到各种形式的推理过程并感受到它?为此,基于两步推理,我们总结和总结了三种基本推理模型。

具体教学分三步实施

(1)仔细设计三个简单的例子,让学生总结三种基本的推理模型。

1条件→结论→新结论(结论推新结论)

2个新结论(多个结论推出新结论)

3个新结论(结论和条件推出新结论)

(2)让学生通过详细的证明过程主题识别不同的推理模式。

(3)通过具体练习,学生通过有意识和预测的行为练习写作。

本课程的目的是让学生首先了解证明问题的总体框架,并在具体的写作中有一定的模式,有效地克服学生写作的盲目性。但教学表明学生仍然有不必要的跳跃。是什么原因?我们将其归因于与推理的因果关系不明确的事实,该定理是推理的基础和单位。因此,我们根据需要设计了以下链接。4.组合定理

基本推理模型的骨干部分也是该定理的符号语言。因此,在这一部分,我们让学生在校对过程中找到单一定理与多元定理相结合的因果关系,然后结合几个定理构建图形,进一步增强学生运用定理的意识。 。

下面将通过示例描述该步骤的实现。

如例1所示,四边形abcd⊙o的半径为5,对角线ac和bd在e处相交,ab=ae·ac,bd=8。找△坏区域。 (嘉兴市质量评估第六卷,2001年)

证明链接ob,链接oa到bd到f。

学生从每个推测符号中找到相应的定理和隐式主定理。

比例基本属性→s/as /对称相似性→相似三角属性→垂直直径定理→毕达哥拉斯定理→三角区域公式

找到该定理的主动性给学生们留下了深刻的印象。在证明过程中,它实际上是由一个单一的定理联系在一起的。它还允许学生理解定理(不排除概念,公式等)嵌入在基本模型中,这可以形成严格的推理过程。此时,您可以安排以下任务来给出毕达哥拉斯定理。你能组合一个或多个定理,构建图形,编译证明或计算吗?

实践证明,在“模式+定理”写作方法之后,学生基本上具有完整写作的意识。

5.关联定理

分析图是证明的基础。几何问题给出的图有时是一些基本图的不完整形式。通过使用辅助线来构造定理的基本图,以创建应用该定理来解决问题的条件。图形可以触发关联(这也是教师分析几何证明和学生证明的基本方法之一),但对于知识或想象力差的学生来说更难。他们经常对如何分解基本图形有疑问?如何在复杂图形中找到所需的基本图形?因此,我们从另一方面给学生一个技巧,即证明问题的“已知,验证”,即命题的定理和一些与图形想象相匹配的定理的结论。

例如,⊙o1和⊙o2在两点b和c处交叉,ab是⊙o1的直径,ab和ac的延长线分别是⊙o2在d,e,而b是⊙o1的切线。证明bf∥de。

在讨论这个问题时,鼓舞人心的学生是基于“ab是⊙o的直径”的联想定理“直径的圆周角是90°”,从而连接bc; “将b作为⊙ooe到f的正切”,“关联定理的正切”的性质是∠abf=90°。由此,构造出基本图案23。

从命题“bf∥de”的结论,“等角度相等,两行平行”定理构造出基本图形4.通过结合上述基本图形234的属性,学生容易思考关于。在本节中,我们的指导词是“你知道哪个条件,你能想到什么定理?”,“条件组合后可以形成哪个定理?”,“是否有相应的基本图形?”,“它能构造吗?”一个基本的图形?“目的是使学生建立一个“图形+定理”思维方法,将以前的无意识思维转化为有目的和有意识的思维。

三,几点理解

评论的效果最终反映在学生身上。只有通过学生自己的实践和理解才是最好的复习方式。因此,在审查过程中,我们始终坚持主观性原则。在组织审查的各个方面,充分调动学生的主动性和积极性,提出问题,让学生思考,为学生设计问题,为学生提供经验,方法和规则,创造性的解决方案和提高。

“没有反思,学生的理解就无法从一个层次升华到更高层次”(Fredental)。我们相信,这是学生在教学方法或答案后反思和理解的好方法。因此,我们总是让学生有足够的时间思考教学,让学生尽快形成解决方案和写作方法。

集中讲座使学生能够对几何定理的应用有一定的了解,但如果没有巩固,也会导致遗忘。因此,我们也坚持渗透性原则,并经常在通常的问题解决分析中自觉引导和反复渗透。

参考资料

高中数学三年级第二轮复习的理论与实践孟祥东等《中学数学教与学》2001,3

数学几何定理在第三天的应用

2全国初中数学教育第10届年会论文集p380,p470

附录初中数学几何定理亮点(记录)

1.相同角度(或等长)的互补角度相等。

3.顶角相等。

5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的总和。

垂直于同一平面中同一直线的两条线是平行线。

7.相同的角度相等,两条线是平行的。

12.等腰三角形的顶点平分线,底边的高度和底边的中线彼此重合。

16.在直角三角形中,斜边的中心线等于斜边的一半。

19.角平分线上的点等于角度两侧的距离。及其反演定理。

二十一。夹在两条平行线之间的平行线段是相等的。夹在两条平行线之间的垂直段是相等的。

二十二。一组边的平行且相等的四边形,或者两组相对边相等或者对角线等分的四边形是平行四边形。

二十四。具有三个角为直角的四边形和具有相等对角线的平行四边形是矩形的。

25.菱形性质的四边相等,对角线彼此垂直,每条对角线等分为一组对角线。

这个广场的四个角是直角,四个边是相等的。两条对角线相等并且彼此相等,并且每条对角线被等分为一组对角线。

34.在相同的圆或相等的圆中,如果两个中心角中的两个,两个圆弧,两个和弦和两个和弦相等,则它们的剩余对相等。36.弦的角度垂直于弦的直径分开,弦的弧度被分开。平分线的直径(不是直径)垂直于弦,并且将弦的弧线一分为二。

43.直角三角形由斜边的高线划分,两个直角三角形与原始三角形相似。

类似的三角形对应于高线的比率,并且相应的中心线与相应的角平分线的比率等于相似比。相似三角形区域的比率等于相似比率的平方。

37.内接四边形的对角线是互补的,任何一个外角都等于其内部对角线。

47.切线的决定定理通过半径的外端,垂直于该半径的直线是圆的切线。

48.切线定理的性质1穿过垂直于切线的圆心的直线必须穿过切点。 2圆的切线垂直于穿过切点的半径。 3穿过垂直于切线的切线的直线必须穿过圆的中心。

49.切线长度定理从圆外的圆绘制两条切线,它们的切线长度相等。连接圆的外部点和圆的中心的线,将从该点到圆的两条切线之间的角度等分。

倒角角定理的切割程度等于夹入弧的程度的一半。切角等于夹在其中的弧的圆周角。

51.交叉弦定理;切割线定理;割线定理


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